Des racines qui convergent vers π

On étudie la suite ( u n ) définie sur N * par u n = 2 n 2 - 2 + 2 + ... + 2 ( n racines au total)  qui converge vers π.
Le calcul direct de ( u n ) provoque une erreur d'élimination que l'on contourne ici.

On pose v n = 2 + 2 + ... + 2 (n racines), on a alors u n = 2 n 2 - v n - 1 .  On peut remarquer que pour tout entier n N * , v n + 1 = 2 + v n (on peut poser v 0 = 0 )

Q1) Ecrire une fonction u1(n) (avec n N * ) calculant u n en exploitant la remarque précédente.

Q2) Calculer les valeurs de u1(n) pour n variant de 1 à 35.

Q3)  Expliquez l'erreur d'élimination qui se produit et qui finit par fausser tout à fait les résultats.

Q4) Démontrer que 2 - v n = 2 - v n - 1 2 + v n . En déduire que 2 - v n = 2 ( 2 + v n ) ... ( 2 + v 1 ) .

Q5)  En déduire une fonction u2(n) (avec n N * ) calculant u n à partir de la remarque précédente.  

Q6) Calculer les valeurs de u2(n) pour n variant de 1 à 35. Pourquoi les résultats sont-ils meilleurs qu'avec u1(n) ?

  On veut montrer que que la suite (u2(n)) est constante à partir d'un certain rang N1 jusqu'à un rang N2, puis est rapidement nulle à partir d'un rang N3.

Q7) Ecrire une fonction N1() qui calcule le plus petit entier N1 = n > 0 pour lequel u2(n) = u2(n+1).

Q8) Ecrire une fonction N2() qui calcule le plus petit entier N2 = n > N1 pour lequel u2(n) ≠ u2(n+1).

Q9) Ecrire une fonction N3() qui calcule le plus petit entier N3 = n > N2 pour lequel u2(n) = 0.

Q10) Eclairer la dégradation du vcalcul de u2(n) à partir de n  = N2 en analysant l'erreur d'underflow qui se produit.

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