Résolution d'une équation du second degré

  Soient a , b , c R . On veut résoudre dans R l'équation du second degré  (1)   a x 2 + b x + c = 0 . On note Δ = b 2 - 4 a c . On s'intéresse en particulier aux situations délicates où:
    (1) Δ est presque nul
    (2) 4 a c b 2 , ce qui pose des problèmes pour le calcul de la solution quasi-nulle.    

Q1) Ecrire  une fonction resoudre_naif(a, b, c) (avec a,b,c ∈ R) résolvant (1) dans R, en affichant la valeur de delta et les deux solutions ou la solution unique ou “pas de solutions” suivant le signe de delta.
  Essayer avec (a,b,c) = (2,3,1) , (1,6,9) et d'autres valeurs

Q2) Résoudre avec cette fonction les équations des second degré: (2)    441 13 x 2 + 3234 13 x + 5929 13 = 0   et (3)   7 x 2 + 420 x + 15 = 0 .
  Vérifier que pourtant leurs Δ sont (en théorie) nuls. Que se passe-t-il et pourquoi ?

Q3) Justifier que, lorsque Δ est presque nul,  l'erreur maximum commise pour le calcul de Δ est err_max = b 2 2 - 52 .

Q4) Résoudre l'équation (4) x 2 + 10 8 x + 1 = 0 . Que se passe-t-il et pourquoi ? Comment faut-il calculer la solution la plus proche de 0 pour ne pas avoir d'erreur d'élimination ?

Q5) Ecrire une fonction resoudre_fiable(a,b,c) résolvant (1) dans R qui renvoie:
  (1) Les deux solutions lorsque Δ > 0 avec certitude, en tenant compte du cas où b 2 >> 4 a c (agir dès que   | 4 ac | < 0.5 b 2 )
  (2) Pas de solutions lorsque Δ < 0 avec certitude.
  (3) Un message d'avertissement lorsque le signe de Δ n'est pas certain, et une idée de ce que sont les éventuelles solutions

Q6) Tester avec les équations (2) , (3) et (4).

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